Exercice : Pour aller plus loin : calcul de la somme des carrés
Question
Montrer par récurrence que pour tout \(n\geq 1\),
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Autrement dit que \(1^2+2^2+3^2+~...~+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Indice
Attention ici, il s'agit de montrer une formule à partir du rang 1. Il faut donc prendre \(n=1\) pour initialiser la récurrence.
Remarque : on aurait pu initialiser avec le rang 0, mais c'est moins intuitif.
Indice
On pourra remarquer que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^2 =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 + (n+1)^2\)
Indice
Un logiciel de calcul formel pourra être utile dans les calculs un peu longs.
Solution
Soit \(\mathcal P_n\) l'hypothèse de récurrence suivante : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
1. Initialisation
Écrivons la formule au rang 1 :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{1}k^2 =1^2=1\)
\(\frac{1(1+1)(2\times 1+1)}{6}=\frac{2\times 3}{6}=1\)
Donc \(\mathcal P_1\) est vraie. La récurrence est initialisée.
2. Hérédité
Supposons que \(\mathcal P_n\) soit vraie au rang \(n\). Démontrons la formule au rang \(n+1\) :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^2 =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2 + (n+1)^2\) en séparant la somme avec d'une part les \(n\) premiers termes et d'autre part le dernier terme.
Or la première partie de la somme est connue par l'hypothèse de récurrence :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2\)
A ce stade, utilisons un logiciel de calcul formel pour gagner du temps sur les calculs fastidieux.
Celui-ci nous montre en développant que \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)
On peut donc en déduire que :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}k^2=\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}\) ce qui prouve que notre hypothèse de récurrence au rang \(n+1\), \(\mathcal P_{n+1}\) est vraie.
3. Conclusion
L'hypothèse \(\mathcal P_1\) est vraie (initialisation)
Nous avons vu de plus que si \(\mathcal P_n\) est vraie alors \(\mathcal P_{n+1}\) est vraie (hérédité)
Donc, pour tout entier \(n\geq 1\), nous avons la formule :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)