Exercice
Pour reprendre ce qui a été vu avec l’activité sur les « chamois », démontrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), la suite définie par récurrence \(u_0=1000\) et \(u_{n+1}=0,8u_n+120\) pour tout \(n\) peut s’exprimer sous forme explicité par :
Pour tout \(n\in\mathbb N, u_n=400\times0,8^n+600\).
Initialisation : Il faut prouver que \(u_0=400\times0,8^0+600\). C’est vrzi car \(u_0=1000\) et \(400\times0,8^0+600=1000\) également.
Hérédité : Supposons que pour un certain entier \(k\), \(u_k=400\times0,8^k+600\). Montrons que \(u_{k+1}=400\times0,8^{k+1}+600\) :
Partons du membre de gauche :
\(u_{k+1}=0,8u_k+120\) par définition.
donc \(u_{k+1}=0,8\times (400\times0,8^k+600)\) par L’hypothèse de récurrence.
\(\hphantom{donc u_{k+1}}=0,8\times 400\times 0,8 ^k+0,8\times 600+120\)
\(\hphantom{donc u_{k+1}}=400\times 0,8 ^{k+1}+600\).
CQFD